Anthony Bajon est né le 7 avril 1994 à Villeneuve Saint Georges en région parisienne. Après un bref passage au Studio Muller à Paris, il fait ses débuts sur les planches en 2009, à l’affiche de la pièce Le Père Noël est une ordure, avec la Troupe du Splendid. Sa rencontre avec le metteur en scène Akim Ben Hafsia lui permet de monter régulièrement sur les planches (Crise à l’usine, Offre d’emploi, Les mots inutiles, Un chapeau de paille d’Italie…)
C'est en 2014 qu'il décroche son premier casting et joue dans le court-métrage de Jean-Guillaume Sonnier, Petit Homme. L’année suivante, il fait sa première apparition sur grand écran dans Les Ogres réalisé par Léa Fehner. Bien qu’il n’interprète qu’une scène, il se fait remarquer par le Hollywood Reporter pour la justesse de son jeu. Il obtient ensuite plusieurs petits rôles au cinéma (Médecin de campagne, Les enfants de la chance, Maryline, Nos années folles). Parallèlement, après plusieurs apparitions dans des séries télévisées, il décroche en 2018, un rôle dans Jeux d’influence de Jean Xavier de l’Estrade diffusée sur Arte.
En 2018, il joue le rôle de Thomas, un des personnages principaux, dans le film La Prière, réalisé par Cédric Kahn. Sa prestation lui vaut de décrocher en 2018 l'Ours d'argent du meilleur acteur lors du Festival du film de Berlin. Il remporte également le Swan d’or de la révélation masculine lors du Festival de Cabourg. En février 2019, ce rôle lui permet aussi d’être nommé aux Césars 2019 dans la catégorie Révélation.
En 2019, il est à l'affiche du film de Jeanne Balibar, Merveilles à Montfermeil.